Extrema et variations - Exemple

On considère la fonction  `f`  définie et dérivable sur l'intervalle `]-1;3[` . La représentation graphique de  \(f^{\prime}\)  est donnée ci-dessous. Nous allons conjecturer les variations de la fonction `f` par lecture graphique de la courbe représentative de sa fonction dérivée `f'` .

• La dérivée de  \(f\)  s'annule deux fois en changeant de signe sur l'intervalle   `]-1;3[`  en  `x=0`  et en  `x=2` . On en déduit que la fonction  `f`  change deux fois de variations. 
  
• Sur  `]-1;0[` ,  `f'(x)<0`  et sur  `]0;2[` ,  `f'(x)>0` . La fonction  `f` est décroissante sur  `]-1;0[`   puis croissante   sur  `]0;2[` . Elle admet donc un extremum local en  `x=0`  qui est un minimum. 
  
• De la même façon, sur  `]0;2[` ,  `f'(x)>0`  et sur  `]2;3[` ,  `f'(x)<0` . La fonction  `f`  est croissante sur  `]0;2[`   et décroissante sur  `]2;3[`   . Elle admet donc un extremum local en  `x=2`  qui est un maximum.